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現代教育通訊
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現代教育通訊 81期 前期教訊:
第81期《現代教育通訊》:再談「易地而處」數題
再談「易地而處」數題
關樹培
香港教育學院 數社科技學系講師

現代教育研究社的同事邀請我寫稿,其耐心和誠意使我心存感謝。易地而處,他們的差使一點也不輕鬆。想到這裡靈機一觸,我終於提起了筆,開始寫很具「易地而處」意味的數學題,這道題在去年的座談會裡曾與同事們分享過,可惜限於時間沒有作進一步研討,現在藉此機會跟大家再談一談,算是座談會的延續罷。

還記得我向同事們推介數學填充題的題型。我指的「易地而處」數學題如下:

選擇適當的數字填在空格內,令算式成立。
   1 2 3 4 5 6 7 8 9   

以文字描述,即:
「兩個由四個不同數字組成的兩位數,相乘後又恰巧是它們逆序數的乘積,你能夠找出該兩個兩位數嗎?」

用較為嚴謹的數學語言表達,即:

a, b, c, d {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 中,且 a, b, c, d 互異。

這樣一來題目便簡潔而清晰了。

運用代數分析:
(10a + b) (10c + d) = (10b + a) (10d + c)
100ac + 10(ad + bc) + bd = 100bd + 10(ad + bc) + ac
99ac = 99bd
ac = bd

由於 a, b, c, d 皆是非零又相異的一位數,我們只需要考慮下列的分數比:

從而求得到 a, b, c, d 組合的可能性與及它們結合為兩位數的不同乘式:

ac / bd
數字 數式
6
1. 2, 3, 6 12 x 63 = 21 x 36 = 756
13 x 62 = 31 x 26 = 806
8
1. 2, 4, 8 12 x 84 = 21 x 48 = 1008
14 x 82 = 41 x 28 = 1148
12
2. 3, 4, 6 23 x 64 = 32 x 46 = 1472
24 x 63 = 42 x 36 = 1512
18
2. 3, 6, 9 23 x 96 = 32 x 69 = 2208
26 x 93 = 62 x 39 = 2418
24
3. 4, 6, 8 34 x 86 = 43 x 68 = 2924
36 x 84 = 63 x 48 = 3024

摒棄每道算式位置調換所產生的其他乘法組合。就以 12 x 63 為例,即:
12 x 63 = 21 x 36          21 x 36 = 12 x 63
63 x 12 = 36 x 21          36 x 21 = 21 x 36

可知滿足原題的解答有10組。

這道題還有別的解答方法嗎?(試驗、枚舉法可派上用場嗎?)分析以後,我們又怎樣引導學生解題呢?可以把題目改變一下重新思考嗎?如何延伸討論下去?我們討論過的填充題擬訂方法能幫助教學嗎?這道題是數理豐富的「數謎」解難題,適合於專題研習(向你推薦「乾坤大挪移」一文,描述的是一群台灣小學生在他們老師指導下的探索報告),值得我們細想!

上次的座談會其中叫我難忘的是重遇許許多多久違了的同事,當然包括前輩陳卓堅老師。他依舊談笑風生,但令我敬佩的是他一下子道破了擬填充題的竅門:「……要求學生填的都是些很小的數字,卻牽涉到數學概念與思維……」現在我把上次座談會的其中一份填充題工作紙(意念來自我現職教師的PGDE學生)附錄於後,並漏空了格內的數字。讓你來自訂適合你們學生的數字。

「數謎」世界十分多彩多姿,最後再給大家送上兩題,希望你也樂在其中!

1
選擇適當的數字填在空格內,令算式成立。
   1 2 3 4 5 6 7 8 9   

算式:
(這是另一道「易地而處」數學題!)

2
選擇適當的數字填在空格內,令直式成立。
   1 2 3 4 5 6 7 8 9   
直式:

 

參考資料
1.
葛帆(2006),《經典智力謎題》,哈爾濱出版社。
2.
李海濤(2005),〈一道智力題的研究〉,《小學數學教師》,頁134-136
3.
陳牧心(2004),《乾坤大挪移》,國立臺灣科學教育館,瀏覽日期:2007-01-29
http://portal.ntsec.gov.tw/activity/race-1/44/c08/080408.pdf
4.
Factors and Prime Factor,瀏覽日期:2007-01-29
http://www.math.ied.edu.hk/spkwan/teaching/teaching%206/factors.htm


附錄:數學填充題舉隅