試題難度值的計算

　　在第一部分的討論中，我們假定題目的難度值都是已知的，而從來沒有說過難度值是怎樣計算出來的。因此讀者們可能會問，「究竟題目的難度值是怎樣計算出來的呢？」在本部分我們將簡述測驗結束後，學生的數據收集了，我們怎樣利用學生的數據來計算題目的難度值。在實際操作中，研究人員並不需要作本部分所講述的計算工作，因為有許多軟件都可以完成這些計算。用來計算題目難度值的方法，不只一個，本文採用了一種讀者最易明白的方法，來向讀者解釋。
　　假設有一個數學測驗由5條1分題目所組成，我們把這測驗向一組學生施測，測驗完畢後，收集了學生的數據，便可以計算每題的難度值。計算開始時，我們假設有5個正數 D1，D2，D3，D4，D5 分別代表這5條題目的難度值。我們的目標是要計算這5個未知數的值。
　　在計算過程中，如有題目，它們的答對率為0或100%，我們將捨棄這些題目，因為這些題目對區分學生沒起作用。捨棄這些題目之後，我們還要捨棄所有總分為0的學生，因為題目對他們來說太難了。我們同樣也要捨棄所有獲得滿分的學生，因為題目對他們來說太容易，不能準確地測量出他們的能力。我們只收集那些得分在1分到4分的學生的答題結果用於分析。
　　在這個例子中，我們假設有100個學生可用於分析。其中有30個學生的得分是1分。他們構成表3中的1分組。因為他們在測驗中都只得到1分，我們可以合理地假定他們在數學方面的能力值是相同的，並用B1來表示這個組的學生的能力值。我們分別用B2，B3，B4 代表2分組，3分組和4分組的學生的能力值，我們的目標是要計算這4個未知數的值。
　　接下來，我們數一數在每個得分組答對每條題目的學生人數，這些資料均列於表3中。

　　我們須注意到，在1分組中，共有多少人（30人），而這群人中能答對第一題的學生共有多少人（12人），從表3中可知30人中只有12個學生答對第一題。因此在本組中，學生答對第一題的概率為12/30 = 0.4。（參見表4中第1列的第一項。）用同樣方法，我們可以計算所有4組學生答對每一題的概率，這些概率值均列於表4中。
　　因為我們的目標是估計5條題目的難度值（D1，D2，D3，D4，D5）和4組學生的能力值（B1，B2，B3，B4），問題中總共有9個未知數。我們的工作是利用這20個概率來計算那9個未知數。在下面三頁，我們將用初中學生也能明白的簡單數學技巧來計算這9個未知數。
　　根據拉希模型，表4中的概率由這9個未知數所產生的，如表5所示。

也就是說，現在我們得到下列20個方程：

	B1 B1 + D1 　= 0.4	……………（1）
	B1 B1 + D2 　= 0.2	……………（2）
	. . .
	B4 B4 + D5 　= 0.7	……………（20）

有了這20個方程，我們應該可以解出9個未知數。
　　實際上，這裡方程個數比未知數的個數多，在數學上，這是無解的，除非這20個方程是相依的（dependent），且能簡化為9個不相依的方程。為了找出方程組的解，我們嘗試利用下面的方法將這20個方程簡化成9個方程。
　　我們對20個方程的兩邊做如下處理。例如，對方程（1），我們的處理方法如表6。
　　如果我們對表4和表5的每個格子都做同樣的處理，則可以得到以下20個方程如表7。

　　
　　看看表7中的方程的結構，它們和表5的相比，可稱是獲得簡化了。因此，很有可能只需用簡單的數學技巧便可解出答案。但是，我們現在介紹的解題方法是很特別的，我們要從那20個表7的方程中，製造出9個新的方程，然後用那9個新的方程去求解。以下是如何得出那9個新方程的步驟。

把表8第一行的5個方程相乘得到方程

D1D2D3D4D5 　5 B1 　= 1.5 x 4 x 4 x 9 x 9 = 1944

對其餘3行做相同的處理。把表8第一列的4個方程相乘得到方程

4 D1 B1B2B3B4 　= 1.5 x 0.67 x 0.25 x 0.11 = 0.03

對其餘4列做相同的處理。這樣我們便得到了9個新的方程。
　　在數學上，這9個方程是相依的，且等值於8個不相依方程。簡單來講，我們可以利用其中任意8個方程來製造出剩下的方程。因此，現在我們有9個未知數而只有8個獨立方程。我們需要再增加一個限制條件來解這個方程組，增加的限制條件是可以採取以下兩個方程中的任意一個。
　　D1D2D3D4D5 = 任意常數 …………（21）
　　 B1B2B3B4 = 任意常數 …………（22）
這裡，我們選擇方程（21），並取任意常數為1。至此，表8中最右邊一列的4個方程立即變成表9中第2列的方程，很容易便得到各得分組別的能力值的解。
　　因為 B1，B2，B3，B4 的值已經求得，可計算得到 B1，B2，B3，B4 的乘積為0.9288。將 B1，B2，B3，B4 乘積的值帶入表8中剩下的5個方程，可解出 D1，D2，D3，D4，D5 如表10。

步驟回顧

　　回顧我們在這部分所做的工作。我們用5條1分題目組成一個測驗，然後把這測驗向一組學生施測，測驗完畢後，我們收集學生的數據，並把得分在1分到4分之間的學生的資料按表3的格式編排。

（a）	接著，我們可製造出表4，計算出每個得分組的學生答對每條題目的概率。
（b）	根據拉希模型，我們可用未知數 D1，D2，D3，D4，D5 來表示題目難度值。
（c）	我們可用 B1，B2，B3，B4 來表示1分組，2分組，3分組，4分組的學生的能力值，因此我們總共有9個未知數。
（d）	根據模型

	Bi Bi + Dj
	（其中 i 取值為1到4，j 取值為1到5）表示 i 分組學生答對題目 j 的概率，到這時候，我們得到20個方程，我們須從這20個方程出發，去計算出那9個未知數的值。

（e）	經過一些數學處理，我們便可解出了未知數。按部就班，每個得分組的學生的能力值（除了零分組和滿分組外），便計算出來，接著，題目的難度值也相繼求得。

總結

　　題目的難度值，是從參與測試的學生的數據中，客觀地計算出來的，並不是由議題的老師所主觀決定。和第一部分的結果結合，我們可得出下列的結論：若題庫的所有題目的難度值皆計算妥當，那麼，題庫中的任意兩組題目所組成的兩份試卷，它們的分數皆可作等值分析和比較。
　　（下期待續）